seances

FICHE PÉDAGOGIQUE — Chapitre 3 : Multiplication et division des nombres rationnels

A. En-tête technique

Champ	Valeur	Champ	Valeur
Établissement	[À compléter]	Matière	Mathématiques
Niveau scolaire	2e année du cycle secondaire collégial	Réalisé par	[Nom de l’enseignant]
Semestre	1er	Titre du cours	Multiplication et division des nombres rationnels
Durée globale	8h	Fiche N°	3
Outils didactiques	Tableau, marqueur, manuels scolaires, calculatrice	Année scolaire	[À compléter] / [À compléter]
Orientations pédagogiques	Partir d’une situation d’aires (rectangle quadrillé) pour construire la règle du produit de deux fractions, étendre au produit d’un entier par une fraction, faire découvrir l’inverse d’un rationnel à l’aide d’un tableau de produits, puis établir le quotient comme produit par l’inverse, avant d’entraîner la gestion des signes et des priorités opératoires.

B. Structure de la leçon, prérequis et compétences

Prérequis :

Calcul du produit et du quotient de deux fractions.
Calcul du produit et du quotient de deux nombres relatifs.
Opérations avec ou sans parenthèses.
Inverse d’une fraction.

Compétences / Capacités attendues :

Savoir calculer et utiliser le produit de deux ou plusieurs nombres rationnels.
Savoir calculer et utiliser le quotient de deux nombres rationnels.
Savoir gérer les priorités des opérations sur les nombres rationnels.
Utiliser la formule a/b = a × 1/b.

Extensions :

Factorisation et développement.
Les équations.
Théorème de Thalès.
Fonction linéaire et fonction affine.
Nombres réels.

Tableau de découpage des séances :

Capacité attendue	Durée	Les séances
Produit de deux nombres rationnels (règle, signes)	2h	Séances 1 et 2
Produit d’un entier relatif par un rationnel ; inverse d’un rationnel ; propriétés (commutativité, associativité)	2h	Séances 3 et 4
Quotient de deux nombres rationnels	2h	Séances 5 et 6
Application et synthèse (priorités opératoires)	1h	Séance 7
Évaluation et remédiation	1h	Séance 8

C. Tableau détaillé du scénario de la séance

Séances 1 et 2 — Produit de deux nombres rationnels

Séances	Les étapes	Les activités / contenu de cours / exercices	Le rôle des apprenants	Le rôle de l’enseignant	La durée et la méthode	Les outils didactiques	Les erreurs / difficultés attendues	Recommandations (remédiation)
Séance 1	Activité diagnostique	QCM diagnostique (items 1 à 12) : signe d’un produit de deux nombres de même signe ; inverse de 0,1 ; moitié de 8/5 ; a+a+a = 3a ; 8/3 ÷ 5/6 ; inverse de 3/2 ; 5/4 × …/7 = 45/28 ; 25/32 = −100/−128 ; les 3/4 de 24 ; 7/5 × 2/5 ; 3 × 5/7 ; 5 − 3/7.	Répondent individuellement au QCM, cochent les cases.	Distribue le QCM, circule, relève les erreurs types (confusion a+a+a et a×a×a, erreur sur l’inverse, mauvaise réduction au même dénominateur pour 5 − 3/7).	10 min	Feuille QCM, ardoise	Confondre « multiplier » et « additionner » des fractions ; oublier qu’un produit de deux nombres de même signe est positif	Rappel rapide des règles de signes et de la règle du produit de fractions positives
	Activité constructiviste<br>- Phase exploratoire<br>- Phase d’action<br>- Phase de formulation<br>- Phase de validation	Activité 1 : sachant AD = 1 cm (rectangle ALMN sur quadrillage). 1) Calculer AN, AL et AB. 2) Calculer l’aire de ALMN en comptant les carreaux. 3) Calculer l’aire par le produit longueur × largeur. 4) Que peut-on déduire ? 5) Calculer 4/9 × 2/5 ; −2/11 × −14/3 ; −9/−5 × −2/7.	Travaillent en binômes, lisent les longueurs fractionnaires sur le quadrillage, calculent l’aire de deux façons, comparent les résultats et formulent la règle du produit (numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux), puis l’appliquent à des cas avec signes.	Distribue la consigne, guide la lecture du quadrillage, fait comparer comptage et produit, laisse émerger la règle sans la donner.	25 min	Tableau, manuel, quadrillage	Lecture erronée des longueurs en fraction de l’unité ; additionner les numérateurs et les dénominateurs ; erreurs de signes dans la question 5	Repasser par le comptage des carreaux pour valider la règle ; traiter d’abord le signe, puis la valeur absolue
	Phase d’institutionnalisation	Résumé §1.a Produit de deux nombres rationnels : règle — pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; a/b × c/d = (a×c)/(b×d). Exemples : −4/11 × 5/9 = −20/99 ; 3/4 × 4/5 = 3/5 (avec simplification).	Écoutent, recopient la règle et les deux exemples.	Présente la règle, insiste sur la simplification avant de multiplier, note les exemples.	15 min	Tableau, cahier de cours	Oubli de simplifier le résultat	Faire simplifier en croix avant de multiplier
	Application et évaluation	Exercice 1 (2/5×3/11 ; 2/13×3/7 ; 2/3×1/5 ; 2/9×2/7 ; 6/5×3/5 ; 5/4×1/2).	Résolvent individuellement, participent à la correction au tableau.	Circule, contrôle la rédaction, fait corriger au tableau.	15 min	Cahier d’exercices, tableau	Erreurs de calcul sur les numérateurs et dénominateurs	Correction collective ciblée
Séance 2	Activité diagnostique (rappel)	Question flash : calculer oralement 2/3 × 4/5 et donner le signe de (−2)×(−3).	Répondent oralement/ardoise.	Réactive la règle du produit et des signes.	5-10 min	Ardoise, tableau	Oubli de la règle des signes	Reformulation collective
	Activité constructiviste	Reprise de la question 5 de l’Activité 1 (produits avec signes), puis extension à des cas à dénominateurs négatifs (−9/−5 × −2/7). Les élèves formulent la règle des signes pour le produit de rationnels.	Calculent en binômes, déterminent d’abord le signe du résultat, puis la valeur, confrontent leurs méthodes.	Guide la stratégie « signe d’abord », anime la mise en commun.	20 min	Tableau, manuel	Mauvaise gestion de plusieurs signes négatifs	Compter le nombre de facteurs négatifs
	Application et évaluation	Exercice 2 (−1/4×3/4 ; −7/5×8/3 ; −9/4×3/5 ; −5/8×5/9 ; −7/3×23/32 ; −7/3×8/5) ; Exercice 3 (−2/5×−4/3 ; 7/−6×−3/11 ; −13/7×−3/7 ; −17/20×−2/5 ; −7/10×−3/5 ; 43/−13×10/−3).	Résolvent individuellement, participent à la correction.	Circule, contrôle, fait corriger au tableau, insiste sur le traitement des dénominateurs négatifs.	25 min	Cahier d’exercices, tableau	Erreur de signe lorsque le dénominateur est négatif	Ramener le signe au numérateur avant de calculer
	Exercices de soutien et renforcement	Reprise des exercices 2 et 3 non terminés.	Travail autonome à la maison.	Examine les cahiers, prépare la remédiation.	Maison	Manuel	Blocages sur les signes multiples	Différenciation

Séances 3 et 4 — Produit d’un entier par un rationnel ; inverse ; propriétés

Séances	Les étapes	Les activités / contenu de cours / exercices	Le rôle des apprenants	Le rôle de l’enseignant	La durée et la méthode	Les outils didactiques	Les erreurs / difficultés attendues	Recommandations (remédiation)
Séance 3	Activité diagnostique (rappel)	Question flash : calculer 3 × 5/7 ; écrire 3 sous forme de fraction.	Répondent oralement/ardoise.	Réactive l’écriture a = a/1.	5-10 min	Ardoise, tableau	Multiplier le dénominateur par l’entier	Écrire l’entier sous forme de fraction
	Activité constructiviste<br>- Phase exploratoire<br>- Phase d’action<br>- Phase de formulation<br>- Phase de validation	Activité 2 : 1) a, b, c relatifs, en remarquant a = a/1, calculer a × b/c. 2) Calculer 5×2/7 ; −2×5/3 ; 12×−3/5 ; 4×−2/−11 ; −14×−5/−13. 3) Compléter le tableau de produits (lignes 1, 1/2, 1/3, 1/4 ; colonnes 1, 2, 3, 4). 4) Quels produits valent 1 ? 5) Généraliser pour a non nul.	Travaillent en binômes, déduisent la règle c × a/b = (c×a)/b, complètent le tableau, repèrent les produits égaux à 1 (2×1/2, 3×1/3, 4×1/4), formulent la notion d’inverse.	Guide la lecture du tableau, fait repérer les paires de produit 1, aide à la généralisation sans donner la définition.	30 min	Tableau, manuel	Multiplier à la fois numérateur et dénominateur par l’entier ; difficulté à généraliser à partir du tableau	Vérifier avec des entiers simples ; faire formuler « a × 1/a = 1 »
	Phase d’institutionnalisation	Résumé §1.b Cas particulier : c × a/b = (a×c)/b ; 0 × a/b = 0 ; 1 × a/b = a/b. Exemple : −5 × 3/4 = −15/4. Propriétés : commutativité a/b × c/d = c/d × a/b ; associativité a/b × c/d × e/f = a/b × (c/d × e/f) = (a/b × c/d) × e/f.	Recopient les règles, l’exemple et les deux propriétés.	Présente les règles et les propriétés, illustre par un exemple numérique.	20 min	Tableau, cahier de cours	Confusion commutativité/associativité	Vérifier chaque propriété sur un exemple numérique
	Application et évaluation	Exercice 6 (12×3/5 ; 10×−13/25 ; −16×5/24 ; 14×5/28 ; 39×5/26 ; 45×−17/81).	Résolvent individuellement, participent à la correction.	Circule, contrôle, fait corriger au tableau.	15 min	Cahier d’exercices, tableau	Oubli de simplifier avant de multiplier	Simplifier l’entier avec le dénominateur
Séance 4	Activité diagnostique (rappel)	Question flash : donner l’inverse de 2/3 et de 5.	Répondent oralement.	Réactive la notion d’inverse.	5 min	Tableau	Inverse confondu avec opposé	Vérifier que le produit vaut 1
	Activité constructiviste	Reprise de l’Activité 2 (questions 4 et 5) pour formaliser l’inverse ; calcul de l’inverse de rationnels négatifs ou à dénominateur négatif.	Cherchent l’inverse de plusieurs rationnels, vérifient que le produit vaut 1.	Guide la formalisation, insiste sur « non nul ».	20 min	Tableau, manuel	Conserver le signe de façon erronée ; oublier que 0 n’a pas d’inverse	Vérifier systématiquement par le produit
	Phase d’institutionnalisation	Résumé §2.a Inverse d’une fraction : l’inverse de a/b (non nul) est b/a, car a/b × b/a = 1. Exemples : inverse de −5/7 est 7/−5 = −7/5 ; inverse de 2/3 est 3/2.	Recopient la règle et les exemples.	Présente la règle, traite les exemples.	10-15 min	Tableau, cahier de cours	Oubli de ramener le signe − au numérateur	Écrire le résultat sous forme simplifiée
	Application et évaluation	Exercice 4 (tableau de produits de 3/2, −4/3, 5/4 entre eux) ; Exercice 5 (calculer et simplifier : 23/14×7/46 ; 12/17×51/48 ; 35/34×17/14 ; 63/32×48/49 ; 25/13×39/100 ; 5/4×12/125) ; Exercice 8 (inverses de 5/7 ; −43/143 ; 23/5 ; 6/37 ; −5/19 ; −25/18 ; −34/15 ; 12/7).	Résolvent individuellement, participent à la correction.	Circule, contrôle, fait corriger au tableau, encourage la simplification avant calcul.	25 min	Cahier d’exercices, tableau	Calculs lourds faute de simplification préalable ; erreur de signe dans le tableau	Simplification en croix ; méthode « signe puis valeur »
	Exercices de soutien et renforcement	Reprise des exercices 4, 5, 8 non terminés ; Exercice 7 (−18×−13/10 ; −24×−7/36 ; −22×−47/11 ; −65×−22/35 ; −36×−25/81 ; −100×−7/625).	Travail autonome à la maison.	Examine les cahiers.	Maison	Manuel	Blocages sur les produits entier × fraction négatifs	Différenciation

Séances 5 et 6 — Quotient de deux nombres rationnels

Séances	Les étapes	Les activités / contenu de cours / exercices	Le rôle des apprenants	Le rôle de l’enseignant	La durée et la méthode	Les outils didactiques	Les erreurs / difficultés attendues	Recommandations (remédiation)
Séance 5	Activité diagnostique (rappel)	Question flash : donner l’inverse de 4/7 ; calculer 8/3 ÷ 5/6 (item 5 du QCM).	Répondent à l’ardoise.	Réactive l’inverse et le lien division/produit.	5-10 min	Ardoise, tableau	Inverser le premier terme	Rappeler que seul le diviseur est inversé
	Activité constructiviste<br>- Phase exploratoire<br>- Phase d’action<br>- Phase de formulation<br>- Phase de validation	Activité 3 : 1) Donner une fraction égale et simplifiée de (k×a)/(k×b). 2) Calculer et simplifier a/b × (bd) et c/d × (bd). 3) En choisissant k convenable, montrer que (a/b)/(c/d) = ad/bc = a/b × d/c. 4) Calculer (2/3)/(5/6) ; 5/−7/4 ; −2/5 / 3.	Travaillent en binômes, choisissent k = bd, simplifient, déduisent la règle du quotient, l’appliquent aux calculs proposés.	Guide le choix de k, fait expliciter chaque étape, valide la règle et sa généralité.	30 min	Tableau, manuel	Difficulté à comprendre le choix k = bd ; erreurs de signe dans les quotients de la question 4	Faire vérifier par un exemple numérique simple
	Phase d’institutionnalisation	Résumé §2.b Quotient de deux nombres rationnels non nuls : a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc. Exemples : 5/7 ÷ 3/4 = 20/21 ; 12/35 ÷ 6/25 = 10/3. Remarque : a/b ÷ c/d peut s’écrire (a/b)/(c/d), avec le signe de division sur la grande ligne de fraction.	Recopient la règle, les exemples et la remarque.	Présente la règle, détaille la simplification dans le second exemple.	15-20 min	Tableau, cahier de cours	Inverser le mauvais terme ; oublier de simplifier	« Je garde le premier, j’inverse le second »
Séance 6	Activité diagnostique (rappel)	Question flash : calculer oralement 3/4 ÷ 3/8.	Répondent oralement.	Réactive la règle.	5-10 min	Tableau	—	—
	Application et évaluation	Exercices de quotients proposés par l’enseignant à partir du manuel (quotients de fractions, avec signes, avec entiers, écriture à grande barre de fraction).	Résolvent individuellement, participent à la correction.	Circule, contrôle la rédaction, fait corriger au tableau.	35 min	Cahier d’exercices, tableau	Erreur de signe ; division par un entier mal traitée	Écrire l’entier sous forme de fraction (n/1)
	Exercices de soutien et renforcement	Exercices de quotients supplémentaires du manuel.	Travail autonome à la maison.	Examine les cahiers.	Maison	Manuel	Blocages sur les fractions à étages	Différenciation

Séance 7 — Application et synthèse

Séances	Les étapes	Les activités / contenu de cours / exercices	Le rôle des apprenants	Le rôle de l’enseignant	La durée et la méthode	Les outils didactiques	Les erreurs / difficultés attendues	Recommandations (remédiation)
Séance 7	Activité diagnostique	Rappel des règles du chapitre : produit, inverse, quotient, signes.	Répondent oralement.	Interroge, réactive les acquis.	5-10 min	Tableau	—	—
	Activité constructiviste / Synthèse	Reprise des exercices non terminés (1 à 8) et d’expressions mêlant produits, quotients et parenthèses, en groupes de niveau.	Travaillent en groupes, justifient chaque étape (signe, priorité, simplification).	Circule, différencie l’accompagnement.	25 min	Cahier, manuel, tableau	Erreurs de priorité des opérations	Rappeler les règles de priorité vues en 1re année
	Institutionnalisation	Bilan collectif : carte mentale (produit, cas particuliers, propriétés, inverse, quotient).	Complètent la carte mentale.	Anime le bilan.	10 min	Tableau, cahier	—	—
	Application et évaluation	Exercices de synthèse type examen.	Résolvent individuellement.	Surveille, chronomètre.	15 min	Cahier d’exercices	Gestion du temps	Entraînement chronométré

Séance 8 — Évaluation et remédiation

Séances	Les étapes	Les activités / contenu de cours / exercices	Le rôle des apprenants	Le rôle de l’enseignant	La durée et la méthode	Les outils didactiques	Les erreurs / difficultés attendues	Recommandations (remédiation)
Séance 8	Évaluation sommative	Contrôle écrit : produit et quotient de rationnels, inverse, signes, priorités opératoires.	Composent individuellement.	Surveille.	40 min	Feuille d’évaluation	Erreurs de signe, oubli de simplification, inverse mal calculé	—
	Correction et remédiation	Correction collective des points manqués ; fiches de remédiation différenciées.	Corrigent leur copie, refont les exercices ratés.	Analyse les copies, constitue des groupes de remédiation.	20 min	Copies, fiches	—	Différenciation selon les résultats

Souhaitez-vous un scénario pédagogique TICE pour ce chapitre (par exemple un tableur pour vérifier les produits et quotients de fractions de l’Exercice 4, ou GeoGebra pour visualiser le produit de deux fractions comme aire d’un rectangle) ?

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