Leçon Interactive : Différence de deux nombres rationnels

    b. Différence de deux nombres rationnels de dénominateurs différents

    Bilan de cours approfondi & 30 Exercices interactifs par niveaux

    1. Proposition et Règle Générale

    Pour calculer la différence de deux nombres rationnels ayant des dénominateurs différents, on doit impérativement les réduire au même dénominateur avant de soustraire leurs numérateurs.

    Soient $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ deux nombres rationnels (avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$). On a :

    $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} - \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad - bc}{bd}$$

    Règle de calcul : On conserve le dénominateur commun et on soustrait les nouveaux numérateurs de gauche à droite en respectant la règle des signes.

    2. Méthode Experte : Le plus petit dénominateur commun (PPCM)

    Au lieu de multiplier systématiquement les deux dénominateurs entre eux ($b \times d$) — ce qui donne parfois de très grands nombres — il est beaucoup plus astucieux de chercher le plus petit multiple commun (PPCM) aux deux dénominateurs :

    • Cas 1 (Un dénominateur est multiple de l'autre) : On garde le plus grand dénominateur.
    • Cas 2 (Les dénominateurs ont un diviseur commun) : On décompose ou on cherche le plus petit multiple commun pour simplifier les calculs (comme dans les deux exemples ci-dessous).
    3. Exemples du cours expliqués étape par étape
    Exemple 1 : Nombres positifs avec résultat négatif

    Calculons : $A = \dfrac{18}{35} - \dfrac{35}{21}$

    Étape 1 (Recherche du dénominateur commun) :
    On remarque que $35 = 7 \times 5$ et $21 = 7 \times 3$. Le plus petit multiple commun est $7 \times 5 \times 3 = 105$.
    On multiplie donc la première fraction par $3$ (car $35 \times 3 = 105$) et la seconde par $5$ (car $21 \times 5 = 105$).

    Étape 2 (Calcul détaillé) :

    $$\frac{18}{35} - \frac{35}{21} = \frac{18 \times 3}{35 \times 3} - \frac{35 \times 5}{21 \times 5} = \frac{54}{105} - \frac{175}{105} = \frac{54 - 175}{105} = \frac{-121}{105}$$
    Exemple 2 : Avec un numérateur négatif

    Calculons : $B = \dfrac{-11}{16} - \dfrac{5}{24}$

    Étape 1 (Recherche du dénominateur commun) :
    Cherchons le plus petit multiple commun à $16$ et $24$ :
    • Multiples de $16$ : $16 \ ; \ 32 \ ; \ \mathbf{48} \dots$
    • Multiples de $24$ : $24 \ ; \ \mathbf{48} \dots$
    Le dénominateur commun est $48$ (car $16 \times 3 = 48$ et $24 \times 2 = 48$).

    Étape 2 (Calcul détaillé et gestion des signes) :

    $$\frac{-11}{16} - \frac{5}{24} = \frac{-11 \times 3}{16 \times 3} - \frac{5 \times 2}{24 \times 2} = \frac{-33}{48} - \frac{10}{48} = \frac{-33 - 10}{48} = \frac{-43}{48}$$

    Rappel : $-33 - 10 = -33 + (-10) = -43$.

    Niveau 1 : Dénominateurs simples et formules directes Score : 0 / 10